Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x - 1}$ como ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique os expoentes em ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Etapa 1.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.11

Combine frações.

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Etapa 1.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.11.3

Mova ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.11.4

Combine $\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

Etapa 1.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.13

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.15

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Etapa 1.16

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

Etapa 1.17

Simplifique os termos.

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Etapa 1.17.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

Etapa 1.17.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.17.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.17.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.18.1

Fatore $2$ de $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

Etapa 1.18.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.18.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.20

Para escrever ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.22

Multiplique ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.22.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.22.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.22.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.22.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.23

Simplifique ${(2 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.24

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Etapa 1.25

Reescreva $\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ como um produto.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

Etapa 1.26

Multiplique $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

Etapa 1.27

Multiplique ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $2 x - 1$ somando os expoentes.

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Etapa 1.27.1

Multiplique ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 1.27.1.1

Eleve $2 x - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

Etapa 1.27.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 1.27.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 1.27.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 1.27.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ em $x = 1$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

Etapa 3.2.1.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 3.2.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Etapa 3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$f (1) = 1$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ é $y = 1$ .

$y = 1$

Etapa 5