Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 12 x$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x + 0$

Etapa 1.2.3.2

Some $6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x$ .

$6 x$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $6 x = 0$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $6 x = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{3} - 12 x$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} - 12 \cdot 0$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{3} - 12 x$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 6 (- 0.1)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $6$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.6$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 6 (0.1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 6.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Etapa 8