Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1, - 1$ .

$1, - 1$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Some $- 4$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Etapa 5.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- \frac{3}{25}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Etapa 6.2.3

Divida $1$ por $1$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.3

Em $x = 0$ , a derivada é $1$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, 1)$ .

Acréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Some $- 4$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

Etapa 7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

Etapa 7.3

Em $x = 2$ , a derivada é $- \frac{3}{25}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(1, \infty)$ .

Decréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 1, 1)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Etapa 9