Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $2017$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2017$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $6 x^{2} - 24 x - 72$ e $0$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 24 x - 72$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 24 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $12 x - 24$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 24$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 + \frac{d}{d x} [2017]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.5.1

Como $2017$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2017$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $6 x^{2} - 24 x - 72$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 24 x - 72$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 24 x - 72$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 24 x - 72 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $6$ de $- 24 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 4 x) - 72 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $6$ de $- 72$ .

$6 x^{2} + 6 (- 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 4 x)$ .

$6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12$ .

$6 (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 6, 2$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 6) (x + 2)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 6) (x + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 5.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 6) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 6, - 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (6) - 24$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $12$ por $6$ .

$72 - 24$

Etapa 9.2

Subtraia $24$ de $72$ .

$48$

Etapa 10

$x = 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = 2 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = 2 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $216$ .

$f (6) = 432 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = 432 - 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 2017$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $36$ .

$f (6) = 432 - 432 - 72 \cdot 6 + 2017$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $6$ .

$f (6) = 432 - 432 - 432 + 2017$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Subtraia $432$ de $432$ .

$f (6) = 0 - 432 + 2017$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $432$ de $0$ .

$f (6) = - 432 + 2017$

Etapa 11.2.2.3

Some $- 432$ e $2017$ .

$f (6) = 1585$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1585$ .

$y = 1585$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (- 2) - 24$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$- 24 - 24$

Etapa 13.2

Subtraia $24$ de $- 24$ .

$- 48$

Etapa 14

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = - 16 - 12 \cdot 4 - 72 \cdot - 2 + 2017$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f (- 2) = - 16 - 48 - 72 \cdot - 2 + 2017$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 - 48 + 144 + 2017$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 15.2.2.1

Subtraia $48$ de $- 16$ .

$f (- 2) = - 64 + 144 + 2017$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 64$ e $144$ .

$f (- 2) = 80 + 2017$

Etapa 15.2.2.3

Some $80$ e $2017$ .

$f (- 2) = 2097$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $2097$ .

$y = 2097$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ .

$(6, 1585)$ é um mínimo local

$(- 2, 2097)$ é um máximo local

Etapa 17