Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 1.3.5.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \cos (x)}$

Etapa 1.3.6

Subtraia $\cos (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \cos (x)}$

Etapa 1.4

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2

Como a função se aproxima de $\infty$ a partir da esquerda e de $- \infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$