Cálculo Exemplos

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$81 x = x^{5}$

Etapa 1.2

Resolva $81 x = x^{5}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{5}$ dos dois lados da equação.

$81 x - x^{5} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $81 x - x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $x$ de $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $x$ de $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 9$ e $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Etapa 1.2.2.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Etapa 1.2.2.5.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Etapa 1.2.2.5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Etapa 1.2.2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $9 + x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $9 + x^{2}$ como igual a $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $9 + x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 1.2.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 1.2.5.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.5.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 1.2.5.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 1.2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 1.2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 1.2.6

Defina $3 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $3 + x$ como igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.7

Defina $3 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $3 - x$ como igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Etapa 1.2.7.2

Resolva $3 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 1.2.7.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = {(0)}^{5}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = {(0)}^{5}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{5}$

Etapa 1.3.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $3 i$ por $x$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Etapa 1.4.2

Simplifique ${(3 i)}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Etapa 1.4.2.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

Etapa 1.4.2.4

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.4.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Etapa 1.4.2.4.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Etapa 1.4.2.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Etapa 1.4.2.5

Multiplique $i$ por $1$ .

$y = 243 i$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = - 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $- 3 i$ por $x$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Etapa 1.5.2

Simplifique ${(- 3 i)}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Aplique a regra do produto a $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Etapa 1.5.2.2

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

Etapa 1.5.2.4

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.4.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Etapa 1.5.2.4.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Etapa 1.5.2.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Etapa 1.5.2.5

Multiplique $i$ por $1$ .

$y = - 243 i$

Etapa 1.6

Avalie $y$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Etapa 1.6.2

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$y = - 243$

Etapa 1.7

Avalie $y$ quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = {(3)}^{5}$

Etapa 1.7.2

Substitua $3$ por $x$ em $y = {(3)}^{5}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3^{5}$

Etapa 1.7.2.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$y = 243$

Etapa 1.8

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Etapa 3.4

Como $81$ é constante com relação a $x$ , mova $81$ para fora da integral.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Etapa 3.9.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Etapa 3.9.2.2

Avalie $\frac{x^{6}}{6}$ em $3$ e em $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.5

Some $\frac{9}{2}$ e $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.6

Combine $81$ e $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.7

Multiplique $81$ por $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.8

Eleve $3$ à potência de $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.9

Cancele o fator comum de $729$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.9.1

Fatore $3$ de $729$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.9.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 3.9.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

Etapa 3.9.2.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.11.1

Fatore $6$ de $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

Etapa 3.9.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.11.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Etapa 3.9.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.9.2.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

Etapa 3.9.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

Etapa 3.9.2.3.13

Some $\frac{243}{2}$ e $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

Etapa 3.9.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{729 - 243}{2}$

Etapa 3.9.2.3.15

Subtraia $243$ de $729$ .

$\frac{486}{2}$

Etapa 3.9.2.3.16

Cancele o fator comum de $486$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.16.1

Fatore $2$ de $486$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

Etapa 3.9.2.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.16.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

Etapa 3.9.2.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.9.2.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{243}{1}$

Etapa 3.9.2.3.16.2.4

Divida $243$ por $1$ .

$243$

Etapa 4