Cálculo Exemplos

$\frac{x + y}{x - y}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + y$ e $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - y) (1 + 0) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x - y$ por $1$ .

$\frac{x - y - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{x - y - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - y - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - y - (x + y) (1 + 0)}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - y - (x + y) \cdot 1}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - y - (x + y)}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - y - x - y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Combine os termos opostos em $x - y - x - y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{- y + 0 - y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Some $- y$ e $0$ .

$\frac{- y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $y$ de $- y$ .

$\frac{- 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 y}{{(x - y)}^{2}}$