Cálculo Exemplos

$x y^{2} = 4$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$y^{2} + 2 x y y'$

Etapa 3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y^{2} + 2 x y y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' = - y^{2}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 x y y' = - y^{2}$ por $2 x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 x y y' = - y^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{2 x}$

Etapa 5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{2 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$