Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Depois, $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.4.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.4.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Etapa 1.1.4.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Etapa 1.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Etapa 1.3.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

Etapa 1.5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{3}$ , $d u_{3}$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{3}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| u_{3} |)$ em $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ e em $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ é aproximadamente $7.52439138$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Etapa 7.1.2

Para escrever $e^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Etapa 7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $e^{2}$ por $e^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Etapa 7.1.4.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Etapa 7.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

Etapa 7.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

Etapa 7.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Forma decimal:

$0.66250137 \dots$

Etapa 9