Cálculo Exemplos

$x = \tan (y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $\sec^{2} (y) y' = 1$ por $\sec^{2} (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (y) y' = 1$ por $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (y)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Etapa 5.2.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$