Cálculo Exemplos

$\int_{36}^{4} 9 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 1

Combine $9$ e $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ .

$\int_{36}^{4} \frac{9 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 2

Como $9$ é constante com relação a $y$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int_{36}^{4} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 3

Reescreva $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ como um produto.

$9 \int_{36}^{4} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (y)$ e $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{1}{y}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

Etapa 5.2

Combine $y^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{y}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

Etapa 5.3

Mova $2$ para a esquerda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

Etapa 5.4

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Etapa 5.5

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.5.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Etapa 5.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

Etapa 5.5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

Etapa 5.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

Etapa 5.5.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - (2 \int_{36}^{4} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Etapa 7.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

Etapa 7.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

Etapa 7.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

Etapa 7.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{4}))$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ em $4$ e em $36$ .

$9 ((\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{4}))$

Etapa 9.2

Avalie $2 y^{\frac{1}{2}}$ em $4$ e em $36$ .

$9 ((\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$9 (\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.1

Cancele o fator comum.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.3.2

Reescreva a expressão.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.4

Avalie o expoente.

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$9 (\ln (4) \cdot 4 - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $\ln (4)$ .

$9 (4 \cdot \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.7

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.9.1

Cancele o fator comum.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.9.2

Reescreva a expressão.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{1}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.10

Avalie o expoente.

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.11

Multiplique $2$ por $6$ .

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) \cdot 12 - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.12

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.13

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.14

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.15.1

Cancele o fator comum.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.15.2

Reescreva a expressão.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.16

Avalie o expoente.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.17

Multiplique $2$ por $2$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.18

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.19

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}))$

Etapa 9.3.20

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.20.1

Cancele o fator comum.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}))$

Etapa 9.3.20.2

Reescreva a expressão.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{1}))$

Etapa 9.3.21

Avalie o expoente.

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6))$

Etapa 9.3.22

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 12))$

Etapa 9.3.23

Subtraia $12$ de $4$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 \cdot - 8)$

Etapa 9.3.24

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) + 16)$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) + 16)$

Forma decimal:

$- 193.11344835 \dots$