Cálculo Exemplos

$\int x^{8} \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{8}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{9} x^{9}) - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{9}$ e $x^{9}$ .

$\ln (x) \frac{x^{9}}{9} - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{9}}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int x^{9} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $x^{9}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x^{9}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{9}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x^{8}}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{8}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int x^{8} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} \int x^{8} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{8}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} x^{9} + C)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} x^{9} + C)$ como $\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$ .

$\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{9}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{9} x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{\ln (x)}{9}$ e $x^{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} x^{9} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{81} x^{9} + C$

$\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{81} x^{9} + C$