Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 6.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 6.2.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Etapa 6.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 6.2.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.7

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 6.2.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Etapa 6.2.8.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Etapa 6.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

Etapa 6.2.10

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Etapa 6.2.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.2.12

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{3}{16}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{16}$

Forma decimal:

$0.1875$

Etapa 8