Cálculo Exemplos

$\int \csc^{3} (x) d x$

Etapa 1

Aplique a fórmula da redução.

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\csc (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Reescreva $- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$ como $- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Combine $\cot (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Etapa 3.2.2

Combine $\csc (x)$ e $\frac{\cot (x)}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Etapa 3.2.3

Para escrever $\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 3.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 3.2.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C$

Etapa 3.2.7

Combine $\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C$

Etapa 3.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Etapa 3.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Etapa 3.2.9.2

Divida $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ por $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$