Cálculo Exemplos

$\int \sin (\ln (x)) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Etapa 2

Reordene $e^{u}$ e $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Etapa 3

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \sin (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Etapa 4

Reordene $e^{u}$ e $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \cos (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Etapa 7

Simplifique multiplicando.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Etapa 7.2

Multiplique $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ por $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{u} \sin (u) d u$ , descobrimos que $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Etapa 9

Reescreva $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Etapa 11.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Etapa 11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Etapa 11.4

Multiplique $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

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Etapa 11.4.1

Combine $\sin (\ln (x))$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Etapa 11.4.2

Combine $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ e $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Etapa 11.5

Multiplique $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

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Etapa 11.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Etapa 11.5.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Etapa 11.6

Reordene os fatores em $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Etapa 12

Remova os parênteses.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$