Cálculo Exemplos

$\int \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2

Divida $x^{2}$ por $x^{2} + 9$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$9$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0 + 9$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$
									-	$9$

Etapa 2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$4 \int 1 - \frac{9}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int d x + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$4 (x + C + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (x + C - \int \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

Etapa 6

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$4 (x + C - (9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x))$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Etapa 7.2

Reordene $x^{2}$ e $9$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

Etapa 7.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$4 (x + C - 9 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C))$

Etapa 9.2

Simplifique.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{x}{3})) + C$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$4 (x - 3 \arctan (\frac{1}{3} x)) + C$