Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $y$ por $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.6

Subtraia $y'$ de $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{- y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x^{- 2} - \frac{y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{y'}{y^{2}}$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some $\frac{1}{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{y'}{y^{2}}}{1} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $\frac{y'}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ como $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Etapa 5.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Etapa 5.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$