Cálculo Exemplos

$x^{3} - x y + y^{2} = 4$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x y + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y y'$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - (x y') - y + 2 y y'$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 x^{2} - x y' - y + 2 y y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y$

Etapa 3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- x y' + 2 y y' - y = - 3 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $y$ aos dois lados da equação.

$- x y' + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $- x y' + 2 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (2 y) = - 3 x^{2} + y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (- x) + y' (2 y)$ .

$y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ por $- x + 2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ por $- x + 2 y$ .

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- x + 2 y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{- x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{- x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{- x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.5

Reescreva $- (3 x^{2} - y)$ como $- 1 (3 x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) + 2 y}$

Etapa 5.3.3.7

Fatore $- 1$ de $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) - (- 2 y)}$

Etapa 5.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.9

Reescreva $- (x - 2 y)$ como $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.10

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Etapa 5.3.3.11

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$