Cálculo Exemplos

$x^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ movendo $\frac{1}{x}$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

Etapa 2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 6.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 6.4

Combine frações.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 6.4.2

Combine $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ e $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

Etapa 7.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$