Cálculo Exemplos

$y = x$ , $y = \sqrt{x}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x = \sqrt{x}$

Etapa 1.2

Resolva $x = \sqrt{x}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$\sqrt{x} = x$

Etapa 1.2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Simplifique.

$x = x^{2}$

Etapa 1.2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$u - u^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Fatore $u$ de $u - u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Etapa 1.2.4.2.2.4

Fatore $u$ de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Etapa 1.2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Etapa 1.2.4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = \sqrt{x}$

Etapa 1.2.4.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4.5

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 1.2.4.5.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 1.2.4.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.2.4.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $\sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \sqrt{1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $\sqrt{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt{1}$

Etapa 1.4.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - (x) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Etapa 3.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Etapa 3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Etapa 3.8.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Avalie $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Etapa 3.8.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.7

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.8

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.9

Some $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.8.2.3.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 3.8.2.3.12

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.12.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 3.8.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.8.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.8.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.8.2.3.12.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Etapa 3.8.2.3.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 3.8.2.3.14

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.2.3.15

Para escrever $\frac{2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.8.2.3.16

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.8.2.3.17

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.17.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.8.2.3.17.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.8.2.3.17.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.8.2.3.17.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Etapa 3.8.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}$

Etapa 3.8.2.3.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.19.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 3}{6}$

Etapa 3.8.2.3.19.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 4