Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Combine os termos opostos em $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

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Etapa 3.5.1.1

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 1 x + 0 - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Some $2 \cdot 1 x$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 1 x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$