Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

Etapa 1

Deixe $r = 2 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d r = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Reorganize os termos.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Reescreva $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2 \sec (t)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 3

Como $8$ é constante com relação a $t$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 4

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 5

Fatore $\tan^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Simplifique.

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 8

Deixe $u = \sec (t)$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = \sec (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Etapa 8.1.2

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Etapa 8.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

Etapa 8.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

Etapa 8.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$8 \int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 + u^{2} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$8 (\int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $- u]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ .

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Etapa 12.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$8 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $- u + \frac{u^{3}}{3}$ em $\sec (0.4636476)$ e em $1$ .

$8 ((- \sec (0.4636476) + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Para escrever $- \sec (0.4636476)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$8 (- \sec (0.4636476) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 13.2.2

Combine $- \sec (0.4636476)$ e $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3 + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 13.2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 13.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Etapa 13.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Etapa 13.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Etapa 13.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Etapa 13.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Etapa 13.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Etapa 13.2.10.2

Some $- 3$ e $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Etapa 13.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - - \frac{2}{3})$

Etapa 13.2.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Etapa 13.2.13

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Fatore $- 1$ de $- 3 \sec (0.4636476)$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 14.2

Fatore $- 1$ de $\sec^{3} (0.4636476)$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 14.3

Fatore $- 1$ de $- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 14.4

Reescreva $- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ como $- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ .

$8 (\frac{- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 14.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Forma decimal:

$0.11584138 \dots$

Etapa 16