Cálculo Exemplos

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

Etapa 1

Deixe $u = - t^{2}$ . Depois, $d u = - 2 t d t$ , então, $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = - t^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 t)$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 t$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{- u}}^{2}$ como $- u$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- u}$ como ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Etapa 2.6

Combine $\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ .

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Etapa 8.2.2

Combine $e^{- t^{2}}$ e $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Etapa 8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- t^{2}}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Etapa 8.4

Reordene os fatores em $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ .

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$