Cálculo Exemplos

$\int_{4}^{5} x \sqrt{x - 4} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - (\frac{2}{3} \int_{4}^{5} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 4

Deixe $u = x - 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Etapa 4.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 5 - 4$

Etapa 4.5

Subtraia $4$ de $5$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ em $5$ e em $4$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.5

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.6

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.10

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.11

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.12

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 6.3.12.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.12.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.12.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{10}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{10}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.14

Some $\frac{10}{3}$ e $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.16

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.17

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.18

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Etapa 6.3.19

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.19.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Etapa 6.3.19.2

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Etapa 6.3.20

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Etapa 6.3.21

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Etapa 6.3.22

Multiplique $0$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Etapa 6.3.23

Some $\frac{2}{5}$ e $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Etapa 6.3.24

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Etapa 6.3.25

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Etapa 6.3.26

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{15}$

Etapa 6.3.27

Para escrever $\frac{10}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Etapa 6.3.28

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.3.28.1

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Etapa 6.3.28.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{10 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Etapa 6.3.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{10 \cdot 5 - 4}{15}$

Etapa 6.3.30

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.30.1

Multiplique $10$ por $5$ .

$\frac{50 - 4}{15}$

Etapa 6.3.30.2

Subtraia $4$ de $50$ .

$\frac{46}{15}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{46}{15}$

Forma decimal:

$3.0\overline{6}$

Forma de número misto:

$3 \frac{1}{15}$

Etapa 8