Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 6 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $36$ de $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $36$ de $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $36$ de $36$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $36$ de $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Reescreva $36 \sec^{2} (t)$ como ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $6 \sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $6 \sec (t)$ de $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int {(6 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $6$ de $6 \tan (t)$ .

$\int {(6 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a regra do produto a $6 (\tan (t))$ .

$\int 6^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\int 216 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 3

Como $216$ é constante com relação a $t$ , mova $216$ para fora da integral.

$216 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Etapa 4

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$216 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 5

Fatore $\tan^{2} (t)$ .

$216 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Simplifique.

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 8

Deixe $u = \sec (t)$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = \sec (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Etapa 8.1.2

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$216 \int - 1 + u^{2} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$216 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$216 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Etapa 12.2

Simplifique.

$216 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (t)$ .

$216 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$216 (- \sec (\arctan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{x}{6})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{x}{6})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{x}{6})$ . Portanto, $\sec (\arctan (\frac{x}{6}))$ é $\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ .

$216 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$216 (- \sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$216 (- \sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.6

Reescreva $\frac{36 + x^{2}}{36}$ como ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

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Etapa 14.1.6.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $36 + x^{2}$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.6.2

Fatore a potência perfeita $6^{2}$ de $36$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.6.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$216 (- (\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.8

Combine $\frac{1}{6}$ e $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Etapa 14.1.9

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}}^{3}) + C$

Etapa 14.1.10

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}}}^{3}) + C$

Etapa 14.1.11

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Etapa 14.1.12

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Etapa 14.1.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Etapa 14.1.14

Reescreva $\frac{36 + x^{2}}{36}$ como ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

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Etapa 14.1.14.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $36 + x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}}}^{3}) + C$

Etapa 14.1.14.2

Fatore a potência perfeita $6^{2}$ de $36$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Etapa 14.1.14.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})}}^{3}) + C$

Etapa 14.1.15

Elimine os termos abaixo do radical.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}})}^{3}) + C$

Etapa 14.1.16

Combine $\frac{1}{6}$ e $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6})}^{3}) + C$

Etapa 14.1.17

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{6^{3}}) + C$

Etapa 14.1.18

Combine.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1 {\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

Etapa 14.1.19

Multiplique ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ por $1$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

Etapa 14.1.20

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 216}) + C$

Etapa 14.1.21

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.21.1

Reescreva ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ como $\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 216}) + C$

Etapa 14.1.21.2

Fatore ${(36 + x^{2})}^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{2} (36 + x^{2})}}{3 \cdot 216}) + C$

Etapa 14.1.21.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{(36 + x^{2}) \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Etapa 14.1.21.4

Aplique a propriedade distributiva.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Etapa 14.1.21.5

Fatore $\sqrt{36 + x^{2}}$ de $36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.21.5.1

Fatore $\sqrt{36 + x^{2}}$ de $36 \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Etapa 14.1.21.5.2

Fatore $\sqrt{36 + x^{2}}$ de $x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 216}) + C$

Etapa 14.1.21.5.3

Fatore $\sqrt{36 + x^{2}}$ de $\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3 \cdot 216}) + C$

Etapa 14.1.22

Multiplique $3$ por $216$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Etapa 14.2

Para escrever $- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} \cdot \frac{108}{108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Etapa 14.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $648$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ por $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{6 \cdot 108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Etapa 14.3.2

Multiplique $6$ por $108$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{648} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648} + C$

Etapa 14.5

Cancele o fator comum de $216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Fatore $216$ de $648$ .

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 (3)} + C$

Etapa 14.5.2

Cancele o fator comum.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 \cdot 3} + C$

Etapa 14.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

Etapa 14.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.6.1

Fatore $\sqrt{36 + x^{2}}$ de $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.6.1.1

Fatore $\sqrt{36 + x^{2}}$ de $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

Etapa 14.6.1.2

Fatore $\sqrt{36 + x^{2}}$ de $\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

Etapa 14.6.2

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

Etapa 14.6.3

Some $- 108$ e $36$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 72 + x^{2})}{3} + C$

Etapa 14.7

Reescreva $- 72$ como $- 1 (72)$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) + x^{2})}{3} + C$

Etapa 14.8

Fatore $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Etapa 14.9

Fatore $- 1$ de $- 1 (72) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72 - x^{2}))}{3} + C$

Etapa 14.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (72 - x^{2})}{3} + C$