Cálculo Exemplos

Encontre o Máximo e Mínimo Local f(x)=x^2e^(-x)
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 1.2
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.2.2
Diferencie usando a regra exponencial, que determina que é , em que = .
Etapa 1.2.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.3
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.3.3
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.3.3.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 1.3.3.3
Reescreva como .
Etapa 1.3.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Reordene os termos.
Etapa 1.4.2
Reordene os fatores em .
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.2
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 2.2.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.2.3.2
Diferencie usando a regra exponencial, que determina que é , em que = .
Etapa 2.2.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.2.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.5
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.6
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.7
Multiplique por .
Etapa 2.2.8
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.2.9
Reescreva como .
Etapa 2.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.2
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 2.3.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.3.3.2
Diferencie usando a regra exponencial, que determina que é , em que = .
Etapa 2.3.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.3.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.5
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3.6
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3.7
Multiplique por .
Etapa 2.3.8
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.3.9
Reescreva como .
Etapa 2.3.10
Multiplique por .
Etapa 2.4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.4.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.4.3
Combine os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.3.1
Multiplique por .
Etapa 2.4.3.2
Multiplique por .
Etapa 2.4.3.3
Multiplique por .
Etapa 2.4.3.4
Multiplique por .
Etapa 2.4.3.5
Subtraia de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.3.5.1
Mova .
Etapa 2.4.3.5.2
Subtraia de .
Etapa 2.4.4
Reordene os termos.
Etapa 2.4.5
Reordene os fatores em .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 4.1.2
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 4.1.2.2
Diferencie usando a regra exponencial, que determina que é , em que = .
Etapa 4.1.2.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 4.1.3
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.3.3
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.3.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.3.3.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 4.1.3.3.3
Reescreva como .
Etapa 4.1.3.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.4.1
Reordene os termos.
Etapa 4.1.4.2
Reordene os fatores em .
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Fatore de .
Etapa 5.2.2
Fatore de .
Etapa 5.2.3
Fatore de .
Etapa 5.3
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 5.4
Defina como igual a .
Etapa 5.5
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.1
Defina como igual a .
Etapa 5.5.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.2.1
Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.
Etapa 5.5.2.2
Não é possível resolver a equação, porque é indefinida.
Indefinido
Etapa 5.5.2.3
Não há uma solução para
Nenhuma solução
Nenhuma solução
Nenhuma solução
Etapa 5.6
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.1
Defina como igual a .
Etapa 5.6.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.2.1
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 5.6.2.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.2.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 5.6.2.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.2.2.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 5.6.2.2.2.2
Divida por .
Etapa 5.6.2.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.2.2.3.1
Divida por .
Etapa 5.7
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 9.1.2
Multiplique por .
Etapa 9.1.3
Qualquer coisa elevada a é .
Etapa 9.1.4
Multiplique por .
Etapa 9.1.5
Multiplique por .
Etapa 9.1.6
Multiplique por .
Etapa 9.1.7
Qualquer coisa elevada a é .
Etapa 9.1.8
Multiplique por .
Etapa 9.1.9
Multiplique por .
Etapa 9.1.10
Qualquer coisa elevada a é .
Etapa 9.1.11
Multiplique por .
Etapa 9.2
Simplifique somando os números.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.2.1
Some e .
Etapa 9.2.2
Some e .
Etapa 10
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 11
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 11.2.2
Multiplique por .
Etapa 11.2.3
Qualquer coisa elevada a é .
Etapa 11.2.4
Multiplique por .
Etapa 11.2.5
A resposta final é .
Etapa 12
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 13
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 13.1.2
Multiplique por .
Etapa 13.1.3
Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo .
Etapa 13.1.4
Combine e .
Etapa 13.1.5
Multiplique por .
Etapa 13.1.6
Multiplique por .
Etapa 13.1.7
Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo .
Etapa 13.1.8
Combine e .
Etapa 13.1.9
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 13.1.10
Multiplique por .
Etapa 13.1.11
Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo .
Etapa 13.1.12
Combine e .
Etapa 13.2
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 13.2.2
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.2.1
Subtraia de .
Etapa 13.2.2.2
Some e .
Etapa 13.2.2.3
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 14
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 15
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 15.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 15.2.2
Multiplique por .
Etapa 15.2.3
Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo .
Etapa 15.2.4
Combine e .
Etapa 15.2.5
A resposta final é .
Etapa 16
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um máximo local
Etapa 17