Cálculo Exemplos

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = 2 x - 4$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$

Etapa 1.2

Resolva $2 x - x^{2} = 2 x - 4$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 x - x^{2} - 2 x = - 4$

Etapa 1.2.1.2

Combine os termos opostos em $2 x - x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 1.2.1.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$- x^{2} + 0 = - 4$

Etapa 1.2.1.2.2

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$- x^{2} = - 4$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = 2 (2) - 4$

Etapa 1.3.2

Simplifique $2 (2) - 4$ .

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = 4 - 4$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 2$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$y = 2 (- 2) - 4$

Etapa 1.4.2

Simplifique $2 (- 2) - 4$ .

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Etapa 1.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = - 4 - 4$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$y = - 8$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

Etapa 2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{2} 2 x - 4 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - (2 x - 4) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 2 x - (2 x) - - 4$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x - - 4$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4 d x$

Etapa 4.3

Combine os termos opostos em $- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$ .

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Etapa 4.3.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$- x^{2} + 0 + 4$

Etapa 4.3.2

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Etapa 4.8

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Etapa 4.9

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.9.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Etapa 4.9.2

Avalie $4 x$ em $2$ e em $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3

Simplifique.

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Etapa 4.9.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3.5

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3.7

Some $8$ e $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3.8

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

Etapa 4.9.3.9

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

Etapa 4.9.3.10

Some $8$ e $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

Etapa 4.9.3.11

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.9.3.12

Combine $16$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.9.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.9.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.9.3.14.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

Etapa 4.9.3.14.2

Some $- 16$ e $48$ .

$\frac{32}{3}$

Etapa 5