Cálculo Exemplos

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (3 x - y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) (4 x^{3})$

Etapa 2.5

Mova $4$ para a esquerda de $x + y$ .

$x^{4} (1 + y') + 4 \cdot (x + y) x^{3}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 (x + y) x^{3}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + (4 x + 4 y) x^{3}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Etapa 2.6.4

Combine os termos.

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Etapa 2.6.4.1

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Etapa 2.6.4.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.2.1

Mova $x^{3}$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x) + 4 y x^{3}$

Etapa 2.6.4.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 2.6.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x^{1}) + 4 y x^{3}$

Etapa 2.6.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3 + 1} + 4 y x^{3}$

Etapa 2.6.4.2.3

Some $3$ e $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{4} + 4 y x^{3}$

Etapa 2.6.4.3

Some $x^{4}$ e $4 x^{4}$ .

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Etapa 2.6.5

Reordene os termos.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$y^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (3 - \frac{d}{d x} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $3 x - y$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 \cdot (3 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 (3 x - y) y y'$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x - y) y y'$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) + 2 (- y)) y y'$

Etapa 3.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) y + 2 (- y) y) y'$

Etapa 3.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Etapa 3.7.5

Combine os termos.

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Etapa 3.7.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Etapa 3.7.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' + 2 (- y) y y'$

Etapa 3.7.5.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y \cdot y y'$

Etapa 3.7.5.4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

Etapa 3.7.5.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Etapa 3.7.5.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

Etapa 3.7.5.7

Some $1$ e $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{2} y'$

Etapa 3.7.5.8

Subtraia $2 y^{2} y'$ de $y^{2} (- y')$ .

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Etapa 3.7.5.8.1

Reordene $y^{2}$ e $- 1$ .

$3 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 6 x y y'$

Etapa 3.7.5.8.2

Subtraia $2 y^{2} y'$ de $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y = 3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' = 5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Etapa 5.2

Subtraia $x^{4} y'$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y$

Etapa 5.3

Subtraia $3 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $6 x y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $- x^{4} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y)$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4})$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ por $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ por $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4})}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Etapa 5.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Etapa 5.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}$

Etapa 5.5.3.5

Fatore $- 1$ de $6 x y$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}$

Etapa 5.5.3.6

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}$

Etapa 5.5.3.7

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}$

Etapa 5.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Etapa 5.5.3.9

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.5.3.9.1

Reescreva $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ como $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Etapa 5.5.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$