Cálculo Exemplos

${(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 {(x + y)}^{2} (1 + y')$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(x + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + y)}^{2} y'$

Etapa 2.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene os fatores em $3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$ .

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $3 y^{2} y'$ dos dois lados da equação.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$3 ((x + y) (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.2

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.3.2

Some $x y$ e $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.3.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.6

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' ((x + y) (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.7

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x (x + y) + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.8.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.8.2

Some $x y$ e $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.8.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.8.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.9

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 3 y' (2 x y) + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reorganize os fatores nos termos $3 y' y^{2}$ e $- 3 y^{2} y'$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} y' - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.3.2

Subtraia $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 0 = 3 x^{2}$

Etapa 5.2.3.3

Some $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y$ e $0$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $6 x y$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y$

Etapa 5.3.3

Subtraia $3 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y - 3 y^{2}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 0 - 6 x y - 3 y^{2}$

Etapa 5.3.5

Subtraia $6 x y$ de $0$ .

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

Etapa 5.4

Fatore $3 y' x$ de $3 y' x^{2} + 6 y' x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $3 y' x$ de $3 y' x^{2}$ .

$3 y' x \cdot x + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $3 y' x$ de $6 y' x y$ .

$3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore $3 y' x$ de $3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y)$ .

$3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ por $3 x (x + 2 y)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ por $3 x (x + 2 y)$ .

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.2.3

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.1

Fatore $3$ de $- 6 x y$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.4.1

Fatore $3$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.4.2.1

Fatore $3$ de $3 x (x + 2 y)$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

Etapa 5.5.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

Etapa 5.5.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.2

Para escrever $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 2 y) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.3.1

Multiplique $\frac{2 y}{x + 2 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.3.2

Reordene os fatores de $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.5

Fatore $y$ de $- 2 y x - y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.5.1

Fatore $y$ de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.5.2

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.5.3

Fatore $y$ de $y (- 2 x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.6

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.7

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.9.1

Reescreva $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.5.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$