Cálculo Exemplos

$2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3} = 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$6 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Etapa 2.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.4.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.4.7

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y'$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $y^{3}$ aos dois lados da equação.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $6 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2

Fatore $x y'$ de $x^{2} y' - 3 y^{2} x y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x y'$ de $x^{2} y'$ .

$x y' x - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2.2

Fatore $x y'$ de $- 3 y^{2} x y'$ .

$x y' x + x y' (- 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' x + x y' (- 3 y^{2})$ .

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ por $x (x - 3 y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ por $x (x - 3 y^{2})$ .

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x - 3 y^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 y}{x - 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x - 3 y^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{(x - 3 y^{2}) x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.5.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 (x \cdot x)}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.6

Para escrever $- \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x - 3 y^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.7.1

Multiplique $\frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{(x - 3 y^{2}) x}$

Etapa 5.3.3.7.2

Reordene os fatores de $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$