Cálculo Exemplos

$\tan (x + y) = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ por $\sec^{2} (x + y)$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ por $\sec^{2} (x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (x + y)$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $1 + y'$ por $1$ .

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

Etapa 5.1.3.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ .

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

Etapa 5.1.3.3

Reescreva $\sec (x + y)$ em termos de senos e cossenos.

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x + y)}$ .

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

Etapa 5.1.3.5

Multiplique $\cos (x + y)$ por $1$ .

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

Etapa 5.2.2

Reordene $\cos^{2} (x + y)$ e $- 1$ .

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

Etapa 5.2.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

Etapa 5.2.4

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x + y)$ .

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

Etapa 5.2.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

Etapa 5.2.6

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ como $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

Etapa 5.2.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$