Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1

Fatore $2$ de $8$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Etapa 6.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.14644660 \dots$