Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{7} w^{2} \ln (w) d w$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (w)$ e $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Etapa 2.2

Combine $\ln (w)$ e $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $w$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $w^{3}$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $w^{3}$ e $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $w$ de $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $w$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $w$ de $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $w^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $w^{2}$ com relação a $w$ é $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ em $7$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{1}{3} w^{3}$ em $7$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{\ln (7) \cdot 343}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.2

Mova $343$ para a esquerda de $\ln (7)$ .

$\frac{343 \cdot \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.4

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.5

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 6.3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Etapa 6.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{343 - 1}{3}$

Etapa 6.3.10

Subtraia $1$ de $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{342}{3}$

Etapa 6.3.11

Cancele o fator comum de $342$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.11.1

Fatore $3$ de $342$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3}$

Etapa 6.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 (1)}$

Etapa 6.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1}$

Etapa 6.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{114}{1}$

Etapa 6.3.11.2.4

Divida $114$ por $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot 114$

Etapa 6.3.12

Multiplique $114$ por $- 1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 114 (\frac{1}{3})$

Etapa 6.3.13

Combine $- 114$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 114}{3}$

Etapa 6.3.14

Cancele o fator comum de $- 114$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.14.1

Fatore $3$ de $- 114$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3}$

Etapa 6.3.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.14.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 (1)}$

Etapa 6.3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 \cdot 1}$

Etapa 6.3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 38}{1}$

Etapa 6.3.14.2.4

Divida $- 38$ por $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 38$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - \ln (1)}{3}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - 0}{3}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) + 0}{3}$

Etapa 7.3

Some $343 \ln (7)$ e $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Forma decimal:

$184.48239370 \dots$