Cálculo Exemplos

$\int t e^{- 2 t} d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{- 2 t}$ .

$t (- \frac{1}{2} e^{- 2 t}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $e^{- 2 t}$ e $\frac{1}{2}$ .

$t (- \frac{e^{- 2 t}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

Etapa 2.2

Combine $t$ e $\frac{e^{- 2 t}}{2}$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t$

Etapa 5

Deixe $u = - 2 t$ . Depois, $d u = - 2 d t$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = - 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $- 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 t]$

Etapa 5.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2 t$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Reescreva $- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $- \frac{1}{2} t e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2} t e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Combine $t$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t}{2} e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 11.2.2

Combine $e^{- 2 t}$ e $\frac{t}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 t$ .

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + C$

Etapa 13

Combine $e^{- 2 t}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{e^{- 2 t}}{4} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 t} t - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + C$