Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x^{2} + 5}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 5}$ como ${(x^{2} + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$5 (- {(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 ({(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 1.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$- 10 {(x^{2} + 5)}^{- 2} x$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Combine $- 10$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Etapa 1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.4.2.4

Mova $10$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 5)}^{2}$ por $1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Fatore $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 5$ de $- 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 5$ de $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Fatore $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{4}$ .

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum.

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva a expressão.

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.14

Some $1$ e $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 10 \frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.16

Combine $- 10$ e $\frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $10$ .

$- \frac{- 30 x^{2} + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.2.2

Multiplique $10$ por $5$ .

$- \frac{- 30 x^{2} + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.3

Fatore $10$ de $- 30 x^{2} + 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.3.1

Fatore $10$ de $- 30 x^{2}$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.3.2

Fatore $10$ de $50$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.3.3

Fatore $10$ de $10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.5

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 (- 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.7

Reescreva $- (3 x^{2} - 5)$ como $- 1 (3 x^{2} - 5)$ .

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2.18.10

Multiplique $\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}]$

Etapa 3.2

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{({(x^{2} + 5)}^{3})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 5)}^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.3.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Some $6 x$ e $0$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.3.7.2

Mova $6$ para a esquerda de ${(x^{2} + 5)}^{3}$ .

$10 \frac{6 \cdot {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (3 {(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [5]))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.5.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.5.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.5.5.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.2.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) (2 \cdot {(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.5.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.5.5.3

Combine $10$ e $\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$ .

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x + (- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1

Use o teorema binomial.

$\frac{10 (6 ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (6 (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 25 + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2.5

Multiplique $25$ por $3$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.2.6

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 ((6 x^{6} + 6 (15 x^{4}) + 6 (75 x^{2}) + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.4.1

Multiplique $15$ por $6$ .

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 6 (75 x^{2}) + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.4.2

Multiplique $75$ por $6$ .

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 450 x^{2} + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.4.3

Multiplique $6$ por $125$ .

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 450 x^{2} + 750) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (6 x^{6} x + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.6.1

Multiplique $x^{6}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.6.1.1

Mova $x$ .

$\frac{10 (6 (x \cdot x^{6}) + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.1.2

Multiplique $x$ por $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.6.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{10 (6 (x^{1} x^{6}) + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{10 (6 x^{1 + 6} + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.1.3

Some $1$ e $6$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.6.2.1

Mova $x$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 (x \cdot x^{4}) + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.2.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.6.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 (x^{1} x^{4}) + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{1 + 4} + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.2.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.6.3.1

Mova $x$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 (x \cdot x^{2}) + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.6.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 (x^{1} x^{2}) + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{1 + 2} + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.6.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{3} + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (6 x^{7}) + 10 (90 x^{5}) + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.8.1

Multiplique $6$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 10 (90 x^{5}) + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.8.2

Multiplique $90$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.8.3

Multiplique $450$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.8.4

Multiplique $750$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.9.1

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.9.2

Multiplique $- 6$ por $- 5$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.10

Reescreva ${(x^{2} + 5)}^{2}$ como $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5)$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} + 5) (x^{2} + 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.11

Expanda $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} (x^{2} + 5) + 5 (x^{2} + 5)) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + 5 (x^{2} + 5)) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.12.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.12.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.12.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 5 \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.12.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 5 x^{2} + 5 x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.12.2

Some $5 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 10 x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.13

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4} x + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.14.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.14.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.14.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4} x^{1} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.14.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4 + 1} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.14.1.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.14.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.14.2.1

Mova $x$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 (x \cdot x^{2}) + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.14.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.14.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 (x^{1} x^{2}) + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.14.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{1 + 2} + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.14.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{3} + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.15

Expanda $(- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{3} + 25 x)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{2} x^{5} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.16.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.16.1.1

Mova $x^{5}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 (x^{5} x^{2}) - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{5 + 2} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.1.3

Some $5$ e $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{2} x^{3} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.16.3.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 (x^{3} x^{2}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{3 + 2} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.3.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{5} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.4

Multiplique $- 18$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{2} x + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.16.6.1

Mova $x$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 (x \cdot x^{2}) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.16.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 (x^{1} x^{2}) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{1 + 2} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.6.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{3} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.7

Multiplique $- 18$ por $25$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.8

Multiplique $10$ por $30$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 300 x^{3} + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.16.9

Multiplique $25$ por $30$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 300 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.17

Some $- 180 x^{5}$ e $30 x^{5}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 150 x^{5} - 450 x^{3} + 300 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.18

Some $- 450 x^{3}$ e $300 x^{3}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 150 x^{5} - 150 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.19

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7}) + 10 (- 150 x^{5}) + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.20.1

Multiplique $- 18$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} + 10 (- 150 x^{5}) + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.20.2

Multiplique $- 150$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.20.3

Multiplique $- 150$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.20.4

Multiplique $750$ por $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.21

Subtraia $180 x^{7}$ de $60 x^{7}$ .

$\frac{- 120 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.22

Subtraia $1500 x^{5}$ de $900 x^{5}$ .

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.23

Subtraia $1500 x^{3}$ de $4500 x^{3}$ .

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 7500 x + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.24

Some $7500 x$ e $7500 x$ .

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25

Reescreva $- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.25.1

Fatore $120 x$ de $- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.25.1.1

Fatore $120 x$ de $- 120 x^{7}$ .

$\frac{120 x (- x^{6}) - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.1.2

Fatore $120 x$ de $- 600 x^{5}$ .

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.1.3

Fatore $120 x$ de $3000 x^{3}$ .

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.1.4

Fatore $120 x$ de $15000 x$ .

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.1.5

Fatore $120 x$ de $120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4})$ .

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.1.6

Fatore $120 x$ de $120 x (- x^{6} - 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2})$ .

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.1.7

Fatore $120 x$ de $120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 120 x (125)$ .

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.25.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{120 x ((- x^{6} - 5 x^{4}) + 25 x^{2} + 125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{120 x (x^{4} (- x^{2} - 5) - 25 (- x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x^{2} - 5$ .

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) (x^{4} - 25))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) ({(x^{2})}^{2} - 25))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.5

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) ({(x^{2})}^{2} - 5^{2}))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 5$ .

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.25.7.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{120 x ((- (x^{2}) - 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.7.2

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{120 x ((- (x^{2}) - 1 (5)) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.7.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{120 x (- (x^{2} + 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.7.4

Reescreva $- (x^{2} + 5)$ como $- 1 (x^{2} + 5)$ .

$\frac{120 x (- 1 (x^{2} + 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.7.5

Eleve $x^{2} + 5$ à potência de $1$ .

$\frac{120 x (- 1 ({(x^{2} + 5)}^{1} (x^{2} + 5)) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.7.6

Eleve $x^{2} + 5$ à potência de $1$ .

$\frac{120 x (- 1 ({(x^{2} + 5)}^{1} {(x^{2} + 5)}^{1}) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.7.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{120 x (- 1 {(x^{2} + 5)}^{1 + 1} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.7.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{120 x (- 1 {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

$\frac{120 x \cdot - 1 {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.8

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.25.8.1

Fatore o negativo.

$\frac{- (120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.3.25.8.2

Multiplique $120$ por $- 1$ .

$\frac{- 120 (x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

$\frac{- 120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 5)}^{2}$ e ${(x^{2} + 5)}^{6}$ .

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Etapa 3.6.4.1.1

Fatore ${(x^{2} + 5)}^{2}$ de $- 120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)$ .

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Etapa 3.6.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.1.2.1

Fatore ${(x^{2} + 5)}^{2}$ de ${(x^{2} + 5)}^{6}$ .

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- 120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$ em relação a $x$ é $- 120 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}]$ .

$- 120 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}]$

Etapa 4.2

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{({(x^{2} + 5)}^{4})}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 5)}^{4})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{4 \cdot 2}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 5$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.5

Diferencie.

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Etapa 4.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.5.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.5.4

Some $2 x$ e $0$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.9.1

Some $1$ e $1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 5) \cdot 1) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.9.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.9.3.1

Multiplique $x^{2} - 5$ por $1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.9.3.2

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Etapa 4.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (4 {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.11

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.11.2

Fatore ${(x^{2} + 5)}^{3}$ de ${(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

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Etapa 4.11.2.1

Fatore ${(x^{2} + 5)}^{3}$ de ${(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5)$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.11.2.2

Fatore ${(x^{2} + 5)}^{3}$ de $- 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + {(x^{2} + 5)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.11.2.3

Fatore ${(x^{2} + 5)}^{3}$ de ${(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + {(x^{2} + 5)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore ${(x^{2} + 5)}^{3}$ de ${(x^{2} + 5)}^{8}$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{3} {(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{3} {(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.15

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.16

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.16.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.16.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.17

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 (x^{1} x) (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.18

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 (x^{1} x^{1}) (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.20

Some $1$ e $1$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.21

Combine $- 120$ e $\frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ .

$\frac{- 120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23

Simplifique.

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Etapa 4.23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.23.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.23.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.23.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2} - 5) + 5 (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.23.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.23.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{120 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.23.3.1.2.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$- \frac{120 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{120 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.3

Mova $- 5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 \cdot x^{2} + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 x^{2} + 15 x^{2} + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.1.5

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 x^{2} + 15 x^{2} - 25) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.2.2

Some $- 5 x^{2}$ e $15 x^{2}$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} + 10 x^{2} - 25) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{120 (3 x^{4}) + 120 (10 x^{2}) + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.23.3.1.4.1

Multiplique $3$ por $120$ .

$- \frac{360 x^{4} + 120 (10 x^{2}) + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.4.2

Multiplique $10$ por $120$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.4.3

Multiplique $120$ por $- 25$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.23.3.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{2 + 2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{4}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.6

Multiplique $- 8$ por $120$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.7

Multiplique $- 5$ por $- 8$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 120 (40 x^{2})}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.1.8

Multiplique $40$ por $120$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 4800 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.2

Subtraia $960 x^{4}$ de $360 x^{4}$ .

$- \frac{- 600 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 4800 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.3.3

Some $1200 x^{2}$ e $4800 x^{2}$ .

$- \frac{- 600 x^{4} + 6000 x^{2} - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.4

Fatore $600$ de $- 600 x^{4} + 6000 x^{2} - 3000$ .

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Etapa 4.23.4.1

Fatore $600$ de $- 600 x^{4}$ .

$- \frac{600 (- x^{4}) + 6000 x^{2} - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.4.2

Fatore $600$ de $6000 x^{2}$ .

$- \frac{600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2}) - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.4.3

Fatore $600$ de $- 3000$ .

$- \frac{600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2}) + 600 (- 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.4.4

Fatore $600$ de $600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2})$ .

$- \frac{600 (- x^{4} + 10 x^{2}) + 600 (- 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.4.5

Fatore $600$ de $600 (- x^{4} + 10 x^{2}) + 600 (- 5)$ .

$- \frac{600 (- x^{4} + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.5

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$- \frac{600 (- (x^{4}) + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.6

Fatore $- 1$ de $10 x^{2}$ .

$- \frac{600 (- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{4}) - (- 10 x^{2})$ .

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.8

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5)$ .

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.10

Reescreva $- (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ como $- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ .

$- \frac{600 (- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 4.23.13

Multiplique $\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ .

$\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$