Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} + x + 1}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} + x + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1] - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.5

Some $3 x^{2} + 1$ e $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1$ .

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Some $3 x^{3} - x^{3}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1}{x^{2}}$