Cálculo Exemplos

$\tan^{2} (x^{4} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x^{4} + 1)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (x^{4} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (x^{4} + 1)$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4} + 1$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Etapa 2.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4} + 1$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0)$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3})$

Etapa 3.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$

Etapa 3.4.3

Reordene os fatores de $8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$ .

$8 x^{3} \sec^{2} (x^{4} + 1) \tan (x^{4} + 1)$