Cálculo Exemplos

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

Etapa 1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{\frac{x}{2}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ movendo $\frac{x}{2}$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

Etapa 3

Combine $\frac{x}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 5.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x \ln (x)}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 8.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 8.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Etapa 9.2.2

Combine $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$