Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x)$

Etapa 1

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Etapa 2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Etapa 3.2.6.2

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$2 x^{- 3}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 3.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$2 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 4.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- 6 x^{- 4}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 4.5.2

Combine os termos.

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Etapa 4.5.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 6}{x^{4}}$

Etapa 4.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{6}{x^{4}}$ .

$- \frac{6}{x^{4}}$