Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 1$ , $[1, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $6 x$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x$ .

$6 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $6 x = 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $6 x = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $3 x^{2} - 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, - 1)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{2} - 1$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - 1$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 1$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$2$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$3 {(3)}^{2} - 1$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 1$

Etapa 3.2.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{1 + 2} - 1$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$3^{3} - 1$

Etapa 3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 1$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $1$ de $27$ .

$26$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(1, 2), (3, 26)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, 26)$

Mínimo absoluto: $(1, 2)$

Etapa 5