Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{1}$

Etapa 1.4

Divida $3 x^{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} 3 x^{2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 2} x^{2}$

Etapa 2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$3 \cdot 2^{2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 4$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$12$