Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} - 3 x - 1$ , $[- 1, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$10 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x - 3 + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $10 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x - 3$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 x - 3$ .

$10 x - 3$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 x - 3 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$10 x - 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$10 x = 3$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $10 x = 3$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $10 x = 3$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{3}{10}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{3}{10}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{10}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $5 x^{2} - 3 x - 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{3}{10}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{3}{10}$ por $x$ .

$5 {(\frac{3}{10})}^{2} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{10}$ .

$5 \frac{3^{2}}{10^{2}} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$5 \frac{9}{10^{2}} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$5 (\frac{9}{100}) - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Fatore $5$ de $100$ .

$5 \frac{9}{5 (20)} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$5 \frac{9}{5 \cdot 20} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $- 3 (\frac{3}{10})$ .

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Etapa 1.4.1.2.1.5.1

Combine $- 3$ e $\frac{3}{10}$ .

$\frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.5.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{9}{10}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{9}{10}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.2.6

Reordene os fatores de $10 \cdot 2$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.2.7

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 - 9 \cdot 2 - 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{9 - 18 - 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$\frac{9 - 18 - 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Subtraia $18$ de $9$ .

$\frac{- 9 - 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Subtraia $20$ de $- 9$ .

$\frac{- 29}{20}$

Etapa 1.4.1.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{29}{20}$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(\frac{3}{10}, - \frac{29}{20})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$5 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$5 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 - 3 \cdot - 1 - 1$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$5 + 3 - 1$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Some $5$ e $3$ .

$8 - 1$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $8$ .

$7$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$5 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$5 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $9$ .

$45 - 3 \cdot 3 - 1$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$45 - 9 - 1$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $9$ de $45$ .

$36 - 1$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $1$ de $36$ .

$35$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, 7), (3, 35)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, 35)$

Mínimo absoluto: $(\frac{3}{10}, - \frac{29}{20})$

Etapa 4