Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

Etapa 1

Deixe $u = t + 4$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = t + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 1.1.4

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = t + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Etapa 1.3

Some $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = t + 4$ .

$u_{upper} = 45 + 4$

Etapa 1.5

Some $45$ e $4$ .

$u_{upper} = 49$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $49$ e em $4$ .

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.4

Avalie o expoente.

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.5

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.8.1

Cancele o fator comum.

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.2.8.2

Reescreva a expressão.

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

Etapa 4.2.9

Avalie o expoente.

$14 - 2 \cdot 2$

Etapa 4.2.10

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$14 - 4$

Etapa 4.2.11

Subtraia $4$ de $14$ .

$10$

Etapa 5