Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 24} \frac{\sqrt{x^{2} + 49} - 25}{x + 24}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 24} \sqrt{x^{2} + 49} - 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{lim_{x \to - 24} \sqrt{x^{2} + 49} - lim_{x \to - 24} 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 24} x^{2} + 49} - lim_{x \to - 24} 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 24} x^{2} + lim_{x \to - 24} 49} - lim_{x \to - 24} 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 24} x)}^{2} + lim_{x \to - 24} 49} - lim_{x \to - 24} 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $49$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 24} x)}^{2} + 49} - lim_{x \to - 24} 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $25$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 24} x)}^{2} + 49} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 24$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 24)}^{2} + 49} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{576 + 49} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Some $576$ e $49$ .

$\frac{\sqrt{625} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva $625$ como $25^{2}$ .

$\frac{\sqrt{25^{2}} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 24} x + lim_{x \to - 24} 24}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $24$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 24} x + 24}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 24$ por $x$ .

$\frac{0}{- 24 + 24}$

Etapa 1.1.3.3

Some $- 24$ e $24$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 24} \frac{\sqrt{x^{2} + 49} - 25}{x + 24} = lim_{x \to - 24} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 49} - 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 49} - 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x^{2} + 49} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 49}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 49}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 49}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 49}$ como ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [49]) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.5

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.11

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.13

Combine $2$ e $\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.14

Combine $\frac{2 {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.15

Mova ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.16

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.3.17

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 24]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [24]}$

Etapa 1.3.8

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 24} \frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 49}$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 24} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 49}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{lim_{x \to - 24} x}{lim_{x \to - 24} \sqrt{x^{2} + 49}}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{lim_{x \to - 24} x}{\sqrt{lim_{x \to - 24} x^{2} + 49}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{lim_{x \to - 24} x}{\sqrt{lim_{x \to - 24} x^{2} + lim_{x \to - 24} 49}}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{lim_{x \to - 24} x}{\sqrt{{(lim_{x \to - 24} x)}^{2} + lim_{x \to - 24} 49}}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $49$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 24$ .

$\frac{lim_{x \to - 24} x}{\sqrt{{(lim_{x \to - 24} x)}^{2} + 49}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 24$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 24$ por $x$ .

$\frac{- 24}{\sqrt{{(lim_{x \to - 24} x)}^{2} + 49}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 24$ por $x$ .

$\frac{- 24}{\sqrt{{(- 24)}^{2} + 49}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 24$ à potência de $2$ .

$\frac{- 24}{\sqrt{576 + 49}}$

Etapa 4.1.2

Some $576$ e $49$ .

$\frac{- 24}{\sqrt{625}}$

Etapa 4.1.3

Reescreva $625$ como $25^{2}$ .

$\frac{- 24}{\sqrt{25^{2}}}$

Etapa 4.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{- 24}{25}$

Etapa 4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{24}{25}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{24}{25}$

Forma decimal:

$- 0.96$