Cálculo Exemplos

$\int \arctan (4 t) d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (4 t)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $t$ e $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

Etapa 2.2

Mova $4$ para a esquerda de $t$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

Etapa 4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

Etapa 5

Deixe $u = 16 t^{2} + 1$ . Depois, $d u = 32 t d t$ , então, $\frac{1}{32} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 16 t^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $16 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $16$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $16 t^{2}$ em relação a $t$ é $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $16$ .

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$32 t + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $32 t$ e $0$ .

$32 t$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Etapa 6.2

Mova $32$ para a esquerda de $u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{32}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{32}$ para fora da integral.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{32}$ e $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $32$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $4$ de $32$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 t^{2} + 1$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$