Cálculo Exemplos

$y = \frac{(x + 3) x}{x + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = (x + 3) x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) x] - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 3]) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 3]) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x \frac{d}{d x} [x + 3]) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x (1 + \frac{d}{d x} [3])) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x (1 + 0)) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x \cdot 1) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3 + x) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - (x + 3) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 3) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 3) - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Expanda $(x + 1) (2 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x + 3) + 1 (2 x + 3) - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 + 1 (2 x + 3) - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.1.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 x + 1 \cdot 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 x + 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2.2

Some $3 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3 - x \cdot x - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3 - (x \cdot x) - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3 - x^{2} - 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 3 - 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{{(x + 1)}^{2}}$