Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

Etapa 1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.1

Combine os termos.

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Etapa 1.1.1

Para escrever $\frac{1}{t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- \frac{1}{t^{2} + t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Etapa 1.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $t (t^{2} + t)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{t}$ por $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{t^{2} + t}$ por $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{(t^{2} + t) t}$

Etapa 1.1.3.3

Reordene os fatores de $(t^{2} + t) t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{t (t^{2} + t)}$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t - t}{t (t^{2} + t)}$

Etapa 1.1.5

Subtraia $t$ de $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + 0}{t (t^{2} + t)}$

Etapa 1.1.6

Some $t^{2}$ e $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t (t^{2} + t)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $t^{2}$ e $t$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

Etapa 1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 2.1.3.3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Etapa 2.1.3.3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Etapa 2.1.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 2.1.3.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + 1}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + lim_{t \to 0} 1}$

Etapa 3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + 1}$

Etapa 4

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Etapa 5.1.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 5.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$