Cálculo Exemplos

\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , em que

u = x^{2} + 6

$u = x^{2} + 6$ e

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Etapa 2

Multiplique

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Etapa 3

Como

- 2

$- 2$ é constante com relação a

x

$x$ , mova

- 2

$- 2$ para fora da integral.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Etapa 4

Multiplique

- 2

$- 2$ por

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , em que

u = x

$u = x$ e

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Etapa 6

Como

- 1

$- 1$ é constante com relação a

x

$x$ , mova

- 1

$- 1$ para fora da integral.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Etapa 7.2

Multiplique

\int_{0}^{1} e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ por

1

$1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Etapa 8

Deixe

u = - x

$u = - x$ . Depois,

d u = - d x

$d u = - d x$ , então,

- d u = d x

$- d u = d x$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe

u = - x

$u = - x$ . Encontre

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie

- x

$- x$ .

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 8.1.2

Como

- 1

$- 1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

- x

$- x$ em relação a

x

$x$ é

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por

x

$x$ em

u = - x

$u = - x$ .

u_{lower} = - 0

$u_{lower} = - 0$

Etapa 8.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por

x

$x$ em

u = - x

$u = - x$ .

u_{upper} = - 1 \cdot 1

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Etapa 8.5

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para

u_{lower}

$u_{lower}$ e

u_{upper}

$u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando

u

$u$ ,

d u

$d u$ e os novos limites de integração.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Etapa 9

Como

- 1

$- 1$ é constante com relação a

u

$u$ , mova

- 1

$- 1$ para fora da integral.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Etapa 10

A integral de

e^{u}

$e^{u}$ com relação a

u

$u$ é

e^{u}

$e^{u}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Avalie

(x^{2} + 6) (- e^{- x})

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})$ em

1

$1$ e em

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Etapa 11.2

Avalie

x (- e^{- x})

$x (- e^{- x})$ em

1

$1$ e em

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Etapa 11.3

Avalie

e^{u}

$e^{u}$ em

- 1

$- 1$ e em

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

(1 + 6) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$(1 + 6) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.2

Some

1

$1$ e

6

$6$ .

7 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$7 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

7 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$7 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

7

$7$ .

- 7 e^{- 1} - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$- 7 e^{- 1} - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.5

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$- 7 e^{- 1} - (0 + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.6

Some

$0$ e

$6$ .

$- 7 e^{- 1} - 1 \cdot 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.7

Multiplique

$- 1$ por

$6$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.8

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.9

Qualquer coisa elevada a

$0$ é

$1$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.10

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.11

Multiplique

$- 6$ por

$- 1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.12

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.13

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.14

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.15

Qualquer coisa elevada a

$0$ é

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.16

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.17

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.18

Some

$- e^{- 1}$ e

$0$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.19

Qualquer coisa elevada a

$0$ é

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Etapa 11.4.20

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12.1.2

Combine

$- 7$ e

$\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12.1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Etapa 12.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Etapa 12.1.4.4

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Etapa 12.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Etapa 12.1.6

Subtraia

$1$ de

$- 1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Etapa 12.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Etapa 12.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Etapa 12.1.9

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Etapa 12.1.10

Multiplique

$2 (- \frac{2}{e})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.10.1

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Etapa 12.1.10.2

Combine

$- 2$ e

$\frac{2}{e}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Etapa 12.1.10.3

Multiplique

$- 2$ por

$2$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Etapa 12.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - \frac{4}{e}$

Etapa 12.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 + 2 + \frac{- 7 - 4}{e}$

Etapa 12.3

Subtraia

$4$ de

$- 7$ .

$6 + 2 + \frac{- 11}{e}$

Etapa 12.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 + 2 - \frac{11}{e}$

Etapa 12.5

Some

$6$ e

$2$ .

$8 - \frac{11}{e}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$8 - \frac{11}{e}$

Forma decimal:

$3.95332614 \dots$

Etapa 14