Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} x \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\ln (2)$ .

$\frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Fatore $2$ de $4 \ln (2)$ .

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.3.2.4

Divida $2 \ln (2)$ por $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.5

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.8

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.8.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Etapa 6.3.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 6.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.11

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.12

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 6.3.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.14.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2}$

Etapa 6.3.14.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 6.3.15

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.16

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{4}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$2 \ln (2) - \frac{0}{2} - \frac{3}{4}$

Etapa 7.1.2

Divida $0$ por $2$ .

$2 \ln (2) - 0 - \frac{3}{4}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 \ln (2) + 0 - \frac{3}{4}$

Etapa 7.2

Some $2 \ln (2)$ e $0$ .

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.63629436 \dots$