Cálculo Exemplos

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ como ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ e $g (x) = 4 x^{4} + 4$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.6.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{4}$ e ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.9

Mova ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ e $16$ .

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.11

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore $4$ de $4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{4} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.14

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{4}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.16

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.17

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

Etapa 4.18

Combine frações.

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Etapa 4.18.1

Some $16 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

Etapa 4.18.2

Combine $16$ e $\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Etapa 4.18.3

Multiplique $16$ por $4$ .

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Etapa 4.18.4

Combine $\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$