Cálculo Exemplos

y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

Etapa 1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ como

{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

Etapa 3

A derivada de

y

$y$ em relação a

x

$x$ é

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como

16

$16$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

$16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ em relação a

x

$x$ é

16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ .

16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

f (x) = x^{\frac{1}{4}}

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ e

g (x) = 4 x^{4} + 4

$g (x) = 4 x^{4} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

u

$u$ como

4 x^{4} + 4

$4 x^{4} + 4$ .

16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ , em que

n = \frac{1}{4}

$n = \frac{1}{4}$ .

16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

4 x^{4} + 4

$4 x^{4} + 4$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.3

Para escrever

- 1

$- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.4

Combine

- 1

$- 1$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.6.2

Subtraia

4

$4$ de

1

$1$ .

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.8

Combine

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ e

{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ .

16 ⎛ ⎜ ⎝ \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4] ⎞ ⎟ ⎠

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.9

Mova

{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

16 ⎛ ⎝ \frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4] ⎞ ⎠

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Etapa 4.10

Combine

\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ e

16

$16$ .

\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.11

Fatore

4

$4$ de

16

$16$ .

\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.1

Fatore

4

$4$ de

4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}

$4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Etapa 4.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de

4 x^{4} + 4

$4 x^{4} + 4$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.14

Como

4

$4$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

4 x^{4}

$4 x^{4}$ em relação a

x

$x$ é

4 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.16

Multiplique

$4$ por

$4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.17

Como

$4$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$4$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

Etapa 4.18

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.1

Some

$16 x^{3}$ e

$0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

Etapa 4.18.2

Combine

$16$ e

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Etapa 4.18.3

Multiplique

$16$ por

$4$ .

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Etapa 4.18.4

Combine

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ e

$x^{3}$ .

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 6

Substitua

$y'$ por

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$